Paralelogram protiv pravokutnika
Paralelogram i pravokutnik su četverokuti. Geometrija ovih figura bila je poznata čovjeku tisućama godina. Tema je eksplicitno obrađena u knjizi “Elementi” koju je napisao grčki matematičar Euklid.
paralelogram
Paralelogram se može definirati kao geometrijski lik s četiri strane, sa suprotnim stranama koje su međusobno paralelne. Točnije to je četverokut s dva para paralelnih stranica. Ova paralelna priroda daje mnoge geometrijske karakteristike paralelogramima.
Četverokut je paralelogram ako su pronađene sljedeće geometrijske karakteristike.
• Dva para nasuprotnih stranica jednake su duljine. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para nasuprotnih kutova jednake su veličine. ([lateks]D\šešir{A}B=B\šešir{C}D, A\šešir{D}C=A\šešir{B}C[/lateks])
• Ako su susjedni kutovi suplementarni [lateks]D\šešir{A}B + A\šešir{D}C=A\šešir{D}C + B\šešir{C}D=B\šešir {C}D + A\šešir{B}C=A\šešir{B}C + D\šešir{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranica, koje su jedna nasuprot drugoj, paralelne su i jednake duljine. (AB=DC & AB∥DC)
• Dijagonale se međusobno raspolavljaju (AO=OC, BO=OD)
• Svaka dijagonala dijeli četverokut na dva sukladna trokuta. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje, zbroj kvadrata stranica jednak je zbroju kvadrata dijagonala. Ovo se ponekad naziva zakonom paralelograma i ima široku primjenu u fizici i tehnici. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Svaka od gornjih karakteristika može se koristiti kao svojstva, nakon što se utvrdi da je četverokut paralelogram.
Površina paralelograma može se izračunati umnoškom duljine jedne stranice i visine suprotne stranice. Stoga se površina paralelograma može izraziti kao
Površina paralelograma=baza × visina=AB×h
Površina paralelograma je neovisna o obliku pojedinog paralelograma. Ovisi samo o duljini baze i okomitoj visini.
Ako se strane paralelograma mogu prikazati s dva vektora, površina se može dobiti pomoću veličine vektorskog umnoška (unakrsnog umnoška) dvaju susjednih vektora.
Ako su stranice AB i AD predstavljene vektorima ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) odnosno ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), površina paralelogram je dan [lateksom]\lijevo | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], gdje je α kut između [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] i [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Slijede neka napredna svojstva paralelograma;
• Površina paralelograma dvostruko je veća od površine trokuta stvorene bilo kojom njegovom dijagonalom.
• Površina paralelograma podijeljena je na pola bilo kojom linijom koja prolazi središtem.
• Svaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram u drugi paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsku simetriju reda 2
• Zbroj udaljenosti od bilo koje unutarnje točke paralelograma do stranica ne ovisi o položaju točke
pravokutnik
Četverokut s četiri prava kuta poznat je kao pravokutnik. To je poseban slučaj paralelograma gdje su kutovi između bilo koje dvije susjedne stranice pravi kutovi.
Uz sva svojstva paralelograma, dodatne karakteristike mogu se prepoznati kada se razmatra geometrija pravokutnika.
• Svaki kut na vrhovima je pravi kut.
• Dijagonale su jednake duljine i međusobno se raspolavljaju. Stoga su prepolovljeni dijelovi također jednaki po duljini.
• Duljina dijagonala može se izračunati pomoću Pitagorinog teorema:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Formula površine svodi se na umnožak duljine i širine.
Površina pravokutnika=duljina × širina
• Mnoga simetrična svojstva nalaze se na pravokutniku, kao što su;
– Pravokutnik je ciklički, gdje se svi vrhovi mogu postaviti na perimetar kruga.
– Jednako je kut, gdje su svi kutovi jednaki.
– Izogonalan je, gdje svi uglovi leže unutar iste orbite simetrije.
– Ima i refleksijsku simetriju i rotacijsku simetriju.
Koja je razlika između paralelograma i pravokutnika?
• Paralelogram i pravokutnik su četverokuti. Pravokutnik je poseban slučaj paralelograma.
• Površina bilo kojeg može se izračunati pomoću formule baza × visina.
• S obzirom na dijagonale;
– Dijagonale paralelograma međusobno se raspolavljaju i dijele paralelogram na dva sukladna trokuta.
– Dijagonale pravokutnika jednake su duljine i međusobno se raspolavljaju; prepolovljeni dijelovi jednake su duljine. Dijagonale dijele pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta.
• S obzirom na unutarnje kutove;
– Nasuprotni unutarnji kutovi paralelograma jednaki su po veličini. Dva susjedna unutarnja kuta su suplementna
– Sva četiri unutarnja kuta pravokutnika su pravi kutovi.
• S obzirom na strane;
– U paralelogramu je zbroj kvadrata stranica jednak zbroju kvadrata dijagonale (zakon paralelograma)
– U pravokutniku je zbroj kvadrata dviju susjednih stranica jednak kvadratu dijagonale na krajevima. (Pitagorino pravilo)
