Paralelogram protiv četverokuta
Četverokuti i paralelogrami su poligoni koji se nalaze u euklidskoj geometriji. Paralelogram je poseban slučaj četverokuta. Četverokuti mogu biti ravni (2D) ili trodimenzionalni, dok su paralelogrami uvijek ravni.
Četverokut
Četverokut je mnogokut s četiri stranice. Ima četiri vrha, a zbroj unutarnjih kutova je 3600 (2π rad). Četverokuti se klasificiraju u kategorije samosječnih i jednostavnih četverokuta. Četverokuti koji se međusobno sijeku imaju dvije ili više stranica koje se križaju, a unutar četverokuta formiraju se manji geometrijski likovi (kao što su trokuti).
Jednostavni četverokuti također se dijele na konveksne i konkavne četverokute. Konkavni četverokuti imaju susjedne stranice koje tvore refleksne kutove unutar figure. Jednostavni četverokuti koji nemaju unutarnje refleksne kutove su konveksni četverokuti. Konveksni četverokuti uvijek mogu imati teselacije.
Veliki dio geometrije četverokuta na početnim razinama odnosi se na konveksne četverokute. Neki četverokuti vrlo su nam poznati iz dana osnovne škole. Slijedi dijagram koji prikazuje različite konveksne četverokute.
paralelogram
Paralelogram se može definirati kao geometrijski lik s četiri strane, sa suprotnim stranama koje su međusobno paralelne. Točnije to je četverokut s dva para paralelnih stranica. Ova paralelna priroda daje mnoge geometrijske karakteristike paralelogramima.
Četverokut je paralelogram ako su pronađene sljedeće geometrijske karakteristike.
• Dva para nasuprotnih stranica jednake su duljine. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para nasuprotnih kutova jednake su veličine. ([lateks]D\šešir{A}B=B\šešir{C}D, A\šešir{D}C=A\šešir{B}C[/lateks])
• Ako su susjedni kutovi suplementarni [lateks]D\šešir{A}B + A\šešir{D}C=A\šešir{D}C + B\šešir{C}D=B\šešir {C}D + A\šešir{B}C=A\šešir{B}C + D\šešir{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranica, koje su jedna nasuprot drugoj, paralelne su i jednake duljine. (AB=DC & AB∥DC)
• Dijagonale se međusobno raspolavljaju (AO=OC, BO=OD)
• Svaka dijagonala dijeli četverokut na dva sukladna trokuta. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje, zbroj kvadrata stranica jednak je zbroju kvadrata dijagonala. Ovo se ponekad naziva zakonom paralelograma i ima široku primjenu u fizici i tehnici. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Svaka od gornjih karakteristika može se koristiti kao svojstva, nakon što se utvrdi da je četverokut paralelogram.
Površina paralelograma može se izračunati umnoškom duljine jedne stranice i visine suprotne stranice. Stoga se površina paralelograma može izraziti kao
Površina paralelograma=baza × visina=AB×h
Površina paralelograma je neovisna o obliku pojedinog paralelograma. Ovisi samo o duljini baze i okomitoj visini.
Ako se strane paralelograma mogu prikazati s dva vektora, površina se može dobiti pomoću veličine vektorskog umnoška (unakrsnog umnoška) dvaju susjednih vektora.
Ako su stranice AB i AD predstavljene vektorima ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) odnosno ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), površina paralelogram je dan [lateksom]\lijevo | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], gdje je α kut između [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] i [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Slijede neka napredna svojstva paralelograma;
• Površina paralelograma dvostruko je veća od površine trokuta stvorene bilo kojom njegovom dijagonalom.
• Površina paralelograma podijeljena je na pola bilo kojom linijom koja prolazi središtem.
• Svaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram u drugi paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsku simetriju reda 2
• Zbroj udaljenosti od bilo koje unutarnje točke paralelograma do stranica ne ovisi o položaju točke
Koja je razlika između paralelograma i četverokuta?
• Četverokuti su mnogokuti s četiri stranice (ponekad se nazivaju i četverokuti), dok je paralelogram posebna vrsta četverokuta.
• Četverokuti mogu imati svoje stranice u različitim ravninama (u 3d prostoru) dok sve stranice paralelograma leže u istoj ravnini (planarne/dvodimenzionalne).
• Unutarnji kutovi četverokuta mogu imati bilo koju vrijednost (uključujući refleksne kutove) tako da njihov zbroj iznosi 3600. Paralelogrami mogu imati samo tupe kutove kao najveću vrstu kuta.
• Četiri stranice četverokuta mogu biti različitih duljina dok su suprotne stranice paralelograma uvijek međusobno paralelne i jednake duljine.
• Bilo koja dijagonala dijeli paralelogram na dva sukladna trokuta, dok trokuti koje čini dijagonala općeg četverokuta nisu nužno sukladni.
