Razlika između binomne i normalne distribucije

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 13:40

Binomna vs normalna distribucija

Distribucije vjerojatnosti slučajnih varijabli igraju važnu ulogu u polju statistike. Od tih distribucija vjerojatnosti, binomna distribucija i normalna distribucija dvije su koje se najčešće pojavljuju u stvarnom životu.

Što je binomna distribucija?

Binomna distribucija je distribucija vjerojatnosti koja odgovara slučajnoj varijabli X, koja je broj uspjeha konačnog niza neovisnih da/ne eksperimenata od kojih svaki ima vjerojatnost uspjeha p. Iz definicije X vidljivo je da je to diskretna slučajna varijabla; stoga je i binomna distribucija diskretna.

Distribucija je označena kao X ~ B (n, p) gdje je n broj eksperimenata, a p vjerojatnost uspjeha. Prema teoriji vjerojatnosti, možemo zaključiti da B (n, p) slijedi funkciju mase vjerojatnosti [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Iz ove jednadžbe se dalje može zaključiti da je očekivana vrijednost X, E(X)=np i varijanca X, V(X)=np (1- p).

Na primjer, razmotrite slučajni eksperiment bacanja novčića 3 puta. Definirajte uspjeh kao dobivanje H, neuspjeh kao dobivanje T i slučajnu varijablu X kao broj uspjeha u eksperimentu. Tada je X ~ B (3, 0,5) i funkcija mase vjerojatnosti X dana s [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Prema tome, vjerojatnost dobivanja najmanje 2 H je P(X ≥ 2)=P (X=2 ili X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Što je normalna distribucija?

Normalna distribucija je kontinuirana distribucija vjerojatnosti definirana funkcijom gustoće vjerojatnosti, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametri [latex] \mu i \\sigma [/latex] označavaju srednju vrijednost i standardnu devijaciju populacije od interesa. Kada je [latex] \mu=0 i \\sigma=1 [/latex] distribucija se naziva standardna normalna distribucija.

Ova se raspodjela naziva normalnom jer većina prirodnih pojava slijedi normalnu raspodjelu. Na primjer, IQ ljudske populacije je normalno raspoređen. Kao što se vidi iz grafikona, unimodalno je, simetrično u odnosu na srednju vrijednost i ima oblik zvona. Srednja vrijednost, mod i medijan se podudaraju. Područje ispod krivulje odgovara dijelu populacije koji zadovoljava zadani uvjet.

Udjeli populacije u intervalu [lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] su približno 68,2%, 95,6% i 99,8% odnosno.

Koja je razlika između binomne i normalne distribucije?

• Binomna distribucija je diskretna distribucija vjerojatnosti dok je normalna distribucija kontinuirana.
• Funkcija mase vjerojatnosti binomne distribucije je [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], dok je funkcija gustoće vjerojatnosti normalne distribucije [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomna distribucija je aproksimirana normalnom distribucijom pod određenim uvjetima, ali ne obrnuto.