Funkcija distribucije vjerojatnosti u odnosu na funkciju gustoće vjerojatnosti
Vjerojatnost je vjerojatnost da će se događaj dogoditi. Ova je ideja vrlo uobičajena i često se koristi u svakodnevnom životu kada procjenjujemo svoje mogućnosti, transakcije i mnoge druge stvari. Proširenje ovog jednostavnog koncepta na veći skup događaja malo je zahtjevnije. Na primjer, ne možemo lako izračunati šanse za dobitak na lutriji, ali zgodno je, prilično intuitivno, reći da postoji vjerojatnost od jedne od šest da ćemo dobiti broj šest u bačenoj kocki.
Kada broj događaja koji se mogu dogoditi postaje veći ili je broj pojedinačnih mogućnosti velik, ova prilično jednostavna ideja vjerojatnosti pada. Stoga mu se mora dati čvrsta matematička definicija prije nego što se pristupi problemima veće složenosti.
Kada je broj događaja koji se mogu dogoditi u jednoj situaciji velik, nemoguće je svaki događaj promatrati pojedinačno kao u primjeru bačene kocke. Stoga je cijeli skup događaja sažet uvođenjem koncepta slučajne varijable. To je varijabla koja može poprimiti vrijednosti različitih događaja u toj konkretnoj situaciji (ili prostoru uzorka). Daje matematički smisao jednostavnim događajima u situaciji i matematički način rješavanja događaja. Točnije, slučajna varijabla je funkcija stvarne vrijednosti nad elementima uzorka. Slučajne varijable mogu biti diskretne ili kontinuirane. Obično se označavaju velikim slovima engleske abecede.
Funkcija distribucije vjerojatnosti (ili jednostavno, distribucija vjerojatnosti) je funkcija koja dodjeljuje vrijednosti vjerojatnosti za svaki događaj; tj. osigurava odnos s vjerojatnostima za vrijednosti koje slučajna varijabla može poprimiti. Funkcija distribucije vjerojatnosti definirana je za diskretne slučajne varijable.
Funkcija gustoće vjerojatnosti je ekvivalent funkcije distribucije vjerojatnosti za kontinuirane slučajne varijable, daje vjerojatnost da određena slučajna varijabla preuzme određenu vrijednost.
Ako je X diskretna slučajna varijabla, funkcija dana kao f (x)=P (X=x) za svaki x unutar raspona X naziva se funkcija distribucije vjerojatnosti. Funkcija može poslužiti kao funkcija distribucije vjerojatnosti ako i samo ako funkcija zadovoljava sljedeće uvjete.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkcija f (x) koja je definirana nad skupom realnih brojeva naziva se funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X, ako i samo ako, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx za bilo koje realne konstante a i b.
Funkcija gustoće vjerojatnosti također treba zadovoljiti sljedeće uvjete.
1. f (x) ≥ 0 za sve x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
I funkcija distribucije vjerojatnosti i funkcija gustoće vjerojatnosti koriste se za predstavljanje distribucije vjerojatnosti u prostoru uzorka. Obično se to nazivaju distribucije vjerojatnosti.
Za statističko modeliranje izvode se standardne funkcije gustoće vjerojatnosti i funkcije distribucije vjerojatnosti. Normalna distribucija i standardna normalna distribucija primjeri su kontinuirane distribucije vjerojatnosti. Binomna distribucija i Poissonova distribucija primjeri su diskretne distribucije vjerojatnosti.
Koja je razlika između distribucije vjerojatnosti i funkcije gustoće vjerojatnosti?
• Funkcija distribucije vjerojatnosti i funkcija gustoće vjerojatnosti su funkcije definirane u prostoru uzorka, za dodjeljivanje relevantne vrijednosti vjerojatnosti svakom elementu.
• Funkcije distribucije vjerojatnosti definirane su za diskretne slučajne varijable dok su funkcije gustoće vjerojatnosti definirane za kontinuirane slučajne varijable.
• Distribucija vrijednosti vjerojatnosti (tj. distribucija vjerojatnosti) najbolje se prikazuje funkcijom gustoće vjerojatnosti i funkcijom distribucije vjerojatnosti.
• Funkcija distribucije vjerojatnosti može se prikazati kao vrijednosti u tablici, ali to nije moguće za funkciju gustoće vjerojatnosti jer je varijabla kontinuirana.
• Kada se iscrta, funkcija distribucije vjerojatnosti daje stupčasti dijagram, dok funkcija gustoće vjerojatnosti daje krivulju.
• Visina/duljina stupaca funkcije distribucije vjerojatnosti mora biti zbrojena s 1, dok se površina ispod krivulje funkcije gustoće vjerojatnosti mora zbrojiti s 1.
• U oba slučaja sve vrijednosti funkcije moraju biti nenegativne.
