Razlika između integracije i zbrajanja

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 13:40

Integracija vs zbrajanje

U srednjoškolskoj matematici, integracija i zbrajanje često se nalaze u matematičkim operacijama. Naizgled se koriste kao različiti alati iu različitim situacijama, ali dijele vrlo blizak odnos.

Više o zbrajanju

Zbrajanje je operacija zbrajanja niza brojeva i operacija se često označava grčkim velikim slovom sigma Σ. Koristi se za skraćenje zbroja i jednako zbroju/zbroju niza. Često se koriste za predstavljanje nizova, koji su u suštini sažeti beskonačni nizovi. Također se mogu koristiti za označavanje zbroja vektora, matrica ili polinoma.

Zbrajanje se obično radi za niz vrijednosti koje se mogu predstaviti općim pojmom, kao što je niz koji ima zajednički izraz. Početna i krajnja točka zbroja poznate su kao donja granica i gornja granica zbroja.

Na primjer, zbroj niza a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n je ₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n koji se može lako predstaviti korištenjem notacije zbrajanja kao ∑ _i=1 a_{i; i naziva se indeks zbrajanja.}

Mnoge varijacije koriste se za zbrajanje na temelju aplikacije. U nekim slučajevima, gornja granica i donja granica mogu se dati kao interval ili raspon, kao što je ∑_1≤i≤100 a_i i ∑_{i∈[1, 100]} a_i Ili se može dati kao skup brojeva poput ∑_i∈P a_{i, gdje je P definirani skup.}

U nekim slučajevima mogu se koristiti dva ili više sigma znakova, ali oni se mogu generalizirati na sljedeći način; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Također, zbrajanje slijedi mnoga algebarska pravila. Budući da je ugrađena operacija zbrajanje, mnoga uobičajena pravila algebre mogu se primijeniti na same zbrojeve i na pojedinačne članove prikazane zbrajanjem.

Više o integraciji

Integracija se definira kao obrnuti proces diferencijacije. Ali u svom geometrijskom pogledu također se može smatrati područjem koje zatvaraju krivulja funkcije i osi. Stoga izračun površine daje vrijednost određenog integrala kao što je prikazano na dijagramu.

Izvor slike:

Vrijednost određenog integrala zapravo je zbroj malih traka unutar krivulje i osi. Površina svake trake je visina × širina u točki na razmatranoj osi. Širina je vrijednost koju možemo odabrati, recimo ∆x. A visina je približno vrijednost funkcije u razmatranoj točki, recimo f (x_{i). Iz dijagrama je vidljivo da što su trake manje, bolje se trake uklapaju u ograničeno područje, a time i bolja aproksimacija vrijednosti.}

Dakle, općenito određeni integral I, između točaka a i b (tj. u intervalu [a, b] gdje je a<b), može se dati kao I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, gdje je n broj traka (n=(b-a)/∆x). Ovo zbrajanje površine može se lako prikazati korištenjem notacije zbrajanja kao I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Budući da je aproksimacija bolja kada je ∆x manji, možemo izračunati vrijednost kada je ∆x→0. Stoga je razumno reći I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Kao generalizaciju gornjeg koncepta, možemo odabrati ∆x na temelju razmatranog intervala indeksiranog s i (odabirom širine područja na temelju položaja). Tada dobivamo

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Ovo je poznato kao Reimannov integral funkcije f (x) u intervalu [a, b]. U ovom slučaju a i b poznati su kao gornja granica i donja granica integrala. Reimannov integral je osnovni oblik svih metoda integracije.

U biti, integracija je zbrajanje površine kada je širina pravokutnika infinitezimalna.

Koja je razlika između integracije i zbrajanja?

• Zbrajanje je zbrajanje niza brojeva. Obično se zbroj daje u ovom obliku ∑_i=1 a_{i kada članovi u nizu imaju obrazac i mogu se izraziti korištenjem općeg pojma.}

• Integracija je u osnovi područje ograničeno krivuljom funkcije, osi te gornjom i donjom granicom. Ovo se područje može dati kao zbroj mnogo manjih područja uključenih u ograničeno područje.

• Zbrajanje uključuje diskretne vrijednosti s gornjom i donjom granicom, dok integracija uključuje kontinuirane vrijednosti.

• Integracija se može tumačiti kao poseban oblik zbrajanja.

• U numeričkim metodama izračuna, integracija se uvijek izvodi kao zbrajanje.