Razlika između linearne i nelinearne jednadžbe

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 13:40

Linearna jednadžba nasuprot nelinearnoj jednadžbi

U matematici, algebarske jednadžbe su jednadžbe koje se formiraju pomoću polinoma. Kada su eksplicitno napisane, jednadžbe će imati oblik P(x)=0, gdje je x vektor od n nepoznatih varijabli, a P je polinom. Na primjer, P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 je algebarska jednadžba u dvije varijable koje su eksplicitno napisane. Također, (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ je algebarska jednadžba, ali u implicitnom obliku i poprimit će oblik Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, jednom eksplicitno napisano.}

Važna karakteristika algebarske jednadžbe je njezin stupanj. Definira se kao najveća snaga članova koji se pojavljuju u jednadžbi. Ako se izraz sastoji od dvije ili više varijabli, zbroj eksponenata svake varijable uzet će se kao potencija člana. Primijetite da je prema ovoj definiciji P(x, y)=0 stupnja 5, dok je Q(x, y, z)=0 stupnja 5.

Linearne jednadžbe i nelinearne jednadžbe su dvije particije definirane na skupu algebarskih jednadžbi. Stupanj jednadžbe je faktor koji ih međusobno razlikuje.

Što je linearna jednadžba?

Linearna jednadžba je algebarska jednadžba stupnja 1. Na primjer, 4x + 5=0 je linearna jednadžba jedne varijable. x + y + 5z=0 i 4x=3w + 5y + 7z su linearne jednadžbe od 3 odnosno 4 varijable. Općenito, linearna jednadžba od n varijabli će imati oblik m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Ovdje su x}i _{nepoznate varijable, m}i _{i b realni brojevi gdje je svaki od m}i _{nije nula.}

Takva jednadžba predstavlja hiperravninu u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru. Konkretno, linearna jednadžba s dvije varijable predstavlja ravnu liniju u Kartezijanskoj ravnini, a linearna jednadžba s tri varijable predstavlja ravninu u euklidskom troprostoru.

Što je nelinearna jednadžba?

Kvadratna jednadžba je algebarska jednadžba koja nije linearna. Drugim riječima, nelinearna jednadžba je algebarska jednadžba stupnja 2 ili višeg. x² + 3x + 2=0 je nelinearna jednadžba s jednom varijablom. x² + y³+ 3xy=4 i 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 su primjeri nelinearnih jednadžbi od 3 odnosno 4 varijable.}

Nelinearna jednadžba drugog stupnja naziva se kvadratna jednadžba. Ako je stupanj 3, onda se to zove kubna jednadžba. Jednadžbe 4. i 5. stupnja nazivaju se jednadžbe kvarta i kvinta. Dokazano je da ne postoji analitička metoda za rješavanje bilo koje nelinearne jednadžbe stupnja 5, a to vrijedi i za svaki viši stupanj. Rješive nelinearne jednadžbe predstavljaju hiperplohe koje nisu hiperravnine.

Koja je razlika između linearne i nelinearne jednadžbe?

• Linearna jednadžba je algebarska jednadžba stupnja 1, ali nelinearna jednadžba je algebarska jednadžba stupnja 2 ili višeg.

• Iako je svaka linearna jednadžba analitički rješiva, to nije slučaj u nelinearnim jednadžbama.

• U n-dimenzionalnom euklidskom prostoru prostor rješenja linearne jednadžbe s n-varijablama je hiper ravnina, dok je prostor rješenja nelinearne jednadžbe s n-varijablama hiperploha, koja nije hiperravnina. (Kvadrike, kubične površine itd.)