Razlika između linearne jednadžbe i kvadratne jednadžbe

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 13:40

Linearna jednadžba naspram kvadratne jednadžbe

U matematici, algebarske jednadžbe su jednadžbe koje se formiraju pomoću polinoma. Kada su eksplicitno napisane, jednadžbe će imati oblik P(x)=0, gdje je x vektor od n nepoznatih varijabli, a P je polinom. Na primjer, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 je eksplicitno napisana algebarska jednadžba dviju varijabli. Također, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ je algebarska jednadžba, ali u implicitnom obliku. Imat će oblik Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, jednom eksplicitno napisano.}

Važna karakteristika algebarske jednadžbe je njezin stupanj. Definira se kao najveća snaga članova koji se pojavljuju u jednadžbi. Ako se izraz sastoji od dvije ili više varijabli, zbroj eksponenata svake varijable uzet će se kao potencija člana. Primijetite da je prema ovoj definiciji P(x, y)=0 stupnja 4 dok je Q(x, y, z)=0 stupnja 5.

Linearne jednadžbe i kvadratne jednadžbe dvije su različite vrste algebarskih jednadžbi. Stupanj jednadžbe je faktor koji ih razlikuje od ostalih algebarskih jednadžbi.

Što je linearna jednadžba?

Linearna jednadžba je algebarska jednadžba stupnja 1. Na primjer, 4x + 5=0 je linearna jednadžba jedne varijable. x + y + 5z=0 i 4x=3w + 5y + 7z su linearne jednadžbe od 3 odnosno 4 varijable. Općenito, linearna jednadžba od n varijabli će imati oblik m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Ovdje su x_i nepoznate varijable, m_i i b realni brojevi gdje je svaki od m_i nije nula.

Takva jednadžba predstavlja hiperravninu u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru. Konkretno, linearna jednadžba s dvije varijable predstavlja ravnu liniju u Kartezijanskoj ravnini, a linearna jednadžba s tri varijable predstavlja ravninu u euklidskom troprostoru.

Što je kvadratna jednadžba?

Kvadratna jednadžba je algebarska jednadžba drugog stupnja. x² + 3x + 2=0 je kvadratna jednadžba s jednom varijablom. x² + y² + 3x=4 i 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 su primjeri kvadratnih jednadžbi od 2 odnosno 3 varijable.}

U slučaju jedne varijable, opći oblik kvadratne jednadžbe je ax² + bx + c=0. Gdje su a, b, c realni brojevi od kojih 'a' nije nula. Diskriminant ∆=(b^{2 – 4ac) određuje prirodu korijena kvadratne jednadžbe. Korijeni jednadžbe bit će stvarno različiti, stvarno slični i složeni prema tome što je ∆ pozitivan, nula i negativan. Korijeni jednadžbe mogu se lako pronaći pomoću formule x=(- b ± √∆) / 2a.}

U slučaju dvije varijable, opći oblik bi bio ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, a to predstavlja koniku (parabolu, hiperbolu ili elipsu) u Kartezijevoj ravnini. U višim dimenzijama ova vrsta jednadžbi predstavlja hiperpovršine poznate kao kvadrike.}

Koja je razlika između linearnih i kvadratnih jednadžbi?

• Linearna jednadžba je algebarska jednadžba stupnja 1, dok je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba stupnja 2.

• U n-dimenzionalnom euklidskom prostoru, prostor rješenja linearne jednadžbe s n-varijablama je hiper ravnina, dok je prostor rješenja kvadratne jednadžbe s n-varijablama kvadrična ploha.