Razlika jednadžbe protiv diferencijalne jednadžbe
Prirodni fenomen može se matematički opisati funkcijama brojnih neovisnih varijabli i parametara. Pogotovo kada su izraženi funkcijom prostornog položaja i vremena to rezultira jednadžbama. Funkcija se može promijeniti s promjenom nezavisnih varijabli ili parametara. Infinitezimalna promjena koja se događa u funkciji kada se promijeni jedna od njezinih varijabli naziva se izvod te funkcije.
Diferencijalna jednadžba je svaka jednadžba koja sadrži derivacije funkcije kao i samu funkciju. Jednostavna diferencijalna jednadžba je ona Newtonovog drugog zakona gibanja. Ako se objekt mase m kreće akceleracijom 'a' i na njega djeluje sila F, onda nam drugi Newtonov zakon govori da je F=ma. Ovdje opet, 'a' varira s vremenom, možemo prepisati 'a' kao; a=dv/dt; v je brzina. Brzina je funkcija prostora i vremena, odnosno v=ds/dt; dakle 'a'=d2s/dt2
Imajući ovo na umu, možemo prepisati Newtonov drugi zakon kao diferencijalnu jednadžbu;
‘F’ kao funkcija v i t – F(v, t)=mdv/dt, ili
'F' kao funkcija s i t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Postoje dvije vrste diferencijalnih jednadžbi; obična diferencijalna jednadžba, skraćeno ODE ili parcijalna diferencijalna jednadžba, skraćeno PDE. Obična diferencijalna jednadžba će u sebi imati obične derivacije (derivacije samo jedne varijable). Parcijalna diferencijalna jednadžba će sadržavati diferencijalne derivacije (derivacije više od jedne varijable).
npr. F=m d2s/dt2 je ODE, dok je α2 d 2u/dx2=du/dt je PDE, ima derivate t i x.
Diferencijalna jednadžba je ista kao diferencijalna jednadžba, ali je promatramo u drugačijem kontekstu. U diferencijalnim jednadžbama nezavisna varijabla kao što je vrijeme razmatra se u kontekstu kontinuiranog vremenskog sustava. U diskretnom vremenskom sustavu, funkciju nazivamo diferentnom jednadžbom.
Jednadžba razlike je funkcija razlika. Razlike u nezavisnim varijablama su tri vrste; niz brojeva, diskretni dinamički sustav i iterirana funkcija.
U nizu brojeva promjena se generira rekurzivno korištenjem pravila za povezivanje svakog broja u nizu s prethodnim brojevima u nizu.
Jednadžba razlike u diskretnom dinamičkom sustavu uzima neki diskretni ulazni signal i proizvodi izlazni signal.
Jednadžba razlike je iterirana mapa za iteriranu funkciju. Npr., y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….je niz iterirane funkcije. f(y0) je prva iteracija od y0 k-ta iteracija bit će označena s fk (y0).
