Razlika između aritmetičkog niza i geometrijskog niza

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-17 23:34

Aritmetički niz protiv geometrijskog niza

Proučavanje uzoraka brojeva i njihovog ponašanja važna je studija u polju matematike. Često se ti obrasci mogu vidjeti u prirodi i pomažu nam objasniti njihovo ponašanje sa znanstvenog gledišta. Aritmetički nizovi i geometrijski nizovi dva su osnovna uzorka koji se pojavljuju u brojevima i često se nalaze u prirodnim pojavama.

Niz je skup poredanih brojeva. Broj elemenata u nizu može biti konačan ili beskonačan.

Više o aritmetičkom nizu (aritmetrijska progresija)

Aritmetički niz je definiran kao niz brojeva sa konstantnom razlikom između svakog uzastopnog člana. Također je poznata kao aritmetička progresija.

Aritmetički niz ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; gdje je a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, i tako dalje.}

Ako je početni član a₁ i zajednička razlika je d, tada je n^{th član niza dan sa;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Uzimajući gornji rezultat dalje, n^{th pojam se također može dati kao;}

a_n =a_m + (n-m)d, gdje je a_{m nasumični pojam u nizu tako da je n > m.}

Skup parnih brojeva i skup neparnih brojeva najjednostavniji su primjeri aritmetičkih nizova, gdje svaki niz ima zajedničku razliku (d) od 2.

Broj članova u nizu može biti beskonačan ili konačan. U beskonačnom slučaju (n → ∞), niz teži beskonačnosti ovisno o zajedničkoj razlici (a_{n → ±∞). Ako je zajednička razlika pozitivna (d > 0), niz teži pozitivnoj beskonačnosti, a ako je zajednička razlika negativna (d < 0), teži negativnoj beskonačnosti. Ako su članovi konačni, niz je također konačan.}

Zbroj članova u aritmetičkom nizu poznat je kao aritmetički niz: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{i S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] daje vrijednost serija (S}n)

Više o geometrijskom nizu (geometrijska progresija)

Geometrijski niz je definiran kao niz u kojem je kvocijent bilo koja dva uzastopna člana konstanta. Ovo je također poznato kao geometrijska progresija.

Geometrijski niz ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; gdje je a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, i tako dalje, gdje je r realan broj.}

Geometrijski niz je lakše prikazati korištenjem zajedničkog omjera (r) i početnog člana (a). Otuda geometrijski niz ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Opći oblik n^th termina dat od a_n =a₁r ^n-1. (Gubi indeks početnog člana ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrijski niz također može biti konačan ili beskonačan. Ako je broj članova konačan, kaže se da je niz konačan. A ako su članovi beskonačni, niz može biti beskonačan ili konačan ovisno o omjeru r. Uobičajeni omjer utječe na mnoga svojstva u geometrijskim nizovima.

r > o	0 < r < +1	Sekvenca konvergira – eksponencijalni pad, tj. an → 0, n → ∞
	r=1	Konstantan niz, tj. an=konstanta
	r > 1	Sekvenca se razilazi – eksponencijalni rast, tj. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Slijed oscilira, ali konvergira
	r=1	Sekvenca je izmjenična i stalna, tj. an=±konstanta
	r < -1	Slijed je naizmjeničan i divergentan. tj. an → ±∞, n → ∞
r=0	Niz je niz nula

N. B: U svim gore navedenim slučajevima, a₁ > 0; ako je ₁ < 0, znakovi koji se odnose na _{n bit će obrnuti.}

Vremenski interval između odskoka lopte slijedi geometrijski niz u idealnom modelu, a to je konvergentni niz.

Zbroj članova geometrijskog niza poznat je kao geometrijski niz; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Zbroj geometrijskog niza može se izračunati pomoću sljedeće formule.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); gdje je a početni član, a r omjer.}

Ako je omjer, r ≤ 1, niz konvergira. Za beskonačni niz, vrijednost konvergencije dana je sa S_n=a/(1-r)

Koja je razlika između aritmetičkog i geometrijskog niza/progresije?

• U aritmetičkom nizu, bilo koja dva uzastopna člana imaju zajedničku razliku (d), dok u geometrijskom nizu, bilo koja dva uzastopna člana imaju konstantan kvocijent (r).

• U aritmetičkom nizu, varijacija članova je linearna, tj. može se povući ravna linija koja prolazi kroz sve točke. U geometrijskom nizu, varijacija je eksponencijalna; raste ili opada na temelju zajedničkog omjera.

• Svi beskonačni aritmetički nizovi su divergentni, dok beskonačni geometrijski nizovi mogu biti ili divergentni ili konvergentni.

• Geometrijski niz može pokazati oscilaciju ako je omjer r negativan, dok aritmetički niz ne prikazuje oscilaciju