Integracija vs diferencijacija
Integracija i diferencijacija dva su temeljna pojma u kalkulusu koji proučava promjenu. Račun ima široku paletu primjena u mnogim područjima kao što su znanost, ekonomija ili financije, inženjerstvo itd.
Razlikovanje
Diferenciranje je algebarski postupak izračuna derivacija. Derivacija funkcije je nagib ili gradijent krivulje (grafa) u bilo kojoj danoj točki. Gradijent krivulje u bilo kojoj danoj točki je gradijent tangente povučene na tu krivulju u danoj točki. Za nelinearne krivulje, gradijent krivulje može varirati u različitim točkama duž osi. Stoga je teško izračunati gradijent ili nagib u bilo kojoj točki. Proces diferencijacije je koristan u izračunavanju gradijenta krivulje u bilo kojoj točki.
Druga definicija derivata je "promjena svojstva u odnosu na jediničnu promjenu drugog svojstva."
Neka je f(x) funkcija nezavisne varijable x. Ako je mala promjena (∆x) uzrokovana u nezavisnoj varijabli x, odgovarajuća promjena ∆f(x) je uzrokovana u funkciji f(x); tada je omjer ∆f(x)/∆x mjera brzine promjene f(x), u odnosu na x. Granična vrijednost ovog omjera, dok ∆x teži nuli, lim∆x→0(f(x)/∆x) naziva se prva derivacija funkcije f(x), u odnosu na x; drugim riječima, trenutna promjena f(x) u danoj točki x.
Integracija
Integracija je proces izračunavanja određenog ili neodređenog integrala. Za realnu funkciju f(x) i zatvoreni interval [a, b] na realnom pravcu, određeni integral, a∫b f(x), definira se kao površina između grafa funkcije, vodoravne osi i dviju okomitih linija na krajnjim točkama intervala. Kada određeni interval nije zadan, poznat je kao neodređeni integral. Određeni integral može se izračunati korištenjem antiderivacija.
Koja je razlika između integracije i diferencijacije?
Razlika između integracije i diferencijacije je nešto poput razlike između "kvadriranja" i "vađenja kvadratnog korijena". Ako kvadriramo pozitivan broj i zatim izvadimo kvadratni korijen rezultata, pozitivna vrijednost kvadratnog korijena bit će broj koji ste kvadrirali. Slično, ako primijenite integraciju na rezultat koji ste dobili diferenciranjem kontinuirane funkcije f(x), to će vas dovesti natrag do izvorne funkcije i obrnuto.
Na primjer, neka je F(x) integral funkcije f(x)=x, stoga je F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, gdje je c proizvoljna konstanta. Kada diferenciramo F(x) u odnosu na x dobivamo, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, dakle, derivacija od F(x) je jednaka f(x).
Sažetak
– Diferencijacija izračunava nagib krivulje, dok integracija izračunava površinu ispod krivulje.
– Integracija je proces obrnut od diferencijacije i obrnuto.
