Diskretna funkcija naspram kontinuirane funkcije
Funkcije su jedna od najvažnijih klasa matematičkih objekata, koji se intenzivno koriste u gotovo svim podpoljima matematike. Kako njihova imena sugeriraju, diskretne funkcije i kontinuirane funkcije dvije su posebne vrste funkcija.
Funkcija je relacija između dva skupa definirana na takav način da je za svaki element u prvom skupu vrijednost koja mu odgovara u drugom skupu jedinstvena. Neka je f funkcija definirana iz skupa A u skup B. Tada za svaki x ϵ A simbol f (x) označava jedinstvenu vrijednost u skupu B koja odgovara xu. Zove se slika od x ispod f. Prema tome, relacija f iz A u B je funkcija, ako i samo ako za, svaki xϵ A i y ϵ A; ako je x=y onda je f (x)=f (y). Skup A naziva se domena funkcije f i to je skup u kojem je funkcija definirana.
Na primjer, razmotrite relaciju f iz R u R definiranu s f (x)=x + 2 za svaki xϵ A. Ovo je funkcija čija je domena R, jer za svaki realni broj x i y, x=y implicira f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Ali odnos g iz N u N definiran s g (x)=a, gdje je 'a' prosti faktor od x, nije funkcija jer g (6)=3, kao ni g (6)=2.
Što je diskretna funkcija?
Diskretna funkcija je funkcija čija je domena najviše prebrojiva. Jednostavno, to znači da je moguće napraviti popis koji uključuje sve elemente domene.
Svaki konačni skup je najviše prebrojiv. Skup prirodnih brojeva i skup racionalnih brojeva su primjeri za najviše prebrojive beskonačne skupove. Skup realnih brojeva i skup iracionalnih brojeva nisu najviše prebrojivi. Oba skupa su nebrojiva. To znači da je nemoguće napraviti popis koji uključuje sve elemente tih skupova.
Jedna od najčešćih diskretnih funkcija je faktorijelna funkcija. f:N U{0}→N rekurzivno definiran s f (n)=n f (n-1) za svaki n ≥ 1 i f (0)=1 naziva se faktorijalna funkcija. Primijetite da je njegova domena N U{0} najviše prebrojiva.
Što je kontinuirana funkcija?
Neka je f funkcija takva da za svaki k u domeni od f, f (x)→ f (k) kao x → k. Tada je f kontinuirana funkcija. To znači da je moguće učiniti f (x) proizvoljno blizu f (k) tako da x bude dovoljno blizu k za svaki k u domeni od f.
Razmotrimo funkciju f (x)=x + 2 na R. Može se vidjeti da kada je x → k, x + 2 → k + 2 to je f (x) → f (k). Prema tome, f je kontinuirana funkcija. Sada, razmotrite g na pozitivnim realnim brojevima g (x)=1 ako je x > 0 i g (x)=0 ako je x=0. Zatim, ova funkcija nije kontinuirana funkcija jer granica g (x) ne postoji (i stoga nije jednaka g (0)) kada je x → 0.
Koja je razlika između diskretne i kontinuirane funkcije?
• Diskretna funkcija je funkcija čija je domena najviše prebrojiva, ali to ne mora biti slučaj u kontinuiranim funkcijama.
• Sve kontinuirane funkcije ƒ imaju svojstvo da je ƒ(x)→ƒ(k) kao x → k za svaki x i za svaki k u domeni od ƒ, ali to nije slučaj u nekim diskretnim funkcijama.
