Razlikovanje naspram derivata
U diferencijalnom računu, derivacija i diferencijacija su blisko povezani, ali vrlo različiti i koriste se za predstavljanje dvaju važnih matematičkih pojmova povezanih s funkcijama.
Što je derivat?
Derivacija funkcije mjeri brzinu kojom se vrijednost funkcije mijenja kako se njezin ulaz mijenja. Kod funkcija s više varijabli promjena vrijednosti funkcije ovisi o smjeru promjene vrijednosti nezavisnih varijabli. Stoga se u takvim slučajevima odabire određeni smjer i funkcija se diferencira u tom određenom smjeru. Ta derivacija se naziva derivacija smjera. Parcijalne derivacije su posebna vrsta usmjerenih derivacija.
Derivacija vektorske funkcije f može se definirati kao granica [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] gdje god postoji konačno. Kao što je prije spomenuto, to nam daje brzinu porasta funkcije f duž smjera vektora u. U slučaju funkcije s jednom vrijednošću, to se svodi na dobro poznatu definiciju derivacije, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Na primjer, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] svugdje se može diferencirati, a derivacija je jednaka granici, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], što je jednako [latex]3x^{2}+4[/latex]. Izvedenice funkcija kao što su [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] postoje posvuda. One su redom jednake funkcijama [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Ovo je poznato kao prva izvedenica. Obično se prva derivacija funkcije f označava s f (1) Koristeći ovaj zapis, moguće je definirati derivacije višeg reda. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je usmjerena derivacija drugog reda i označava n th derivaciju s f (n) za svaki n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definira n th derivat.
Što je diferencijacija?
Diferenciranje je proces pronalaženja izvoda diferencijabilne funkcije. D-operator označen s D predstavlja diferencijaciju u nekim kontekstima. Ako je x nezavisna varijabla, tada je D ≡ d/dx. D-operator je linearni operator, tj. za bilo koje dvije diferencijabilne funkcije f i g i konstantu c vrijede sljedeća svojstva.
ja. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Upotrebom D-operatora, druga pravila povezana s diferencijacijom mogu se izraziti na sljedeći način. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 i D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Na primjer, kada se F(x)=x 2sin x diferencira u odnosu na x pomoću danih pravila, odgovor će biti 2 x sin x + x2cos x.
Koja je razlika između diferencijacije i derivata?• Derivacija se odnosi na stopu promjene funkcije • Diferenciranje je proces pronalaženja derivacije funkcije. |
