Derivacija vs Integral
Diferencijacija i integracija dvije su temeljne operacije u Calculusu. Imaju brojne primjene u nekoliko područja, kao što su matematika, inženjerstvo i fizika. I derivacija i integral raspravljaju o ponašanju funkcije ili ponašanja fizičkog entiteta koji nas zanima.
Što je Derivacija?
Pretpostavimo da je y=ƒ(x) i x0 u domeni od ƒ. Zatim limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx naziva se trenutna brzina promjene ƒ na x0, pod uvjetom da ova granica postoji konačno. Ova granica se također naziva izvod od at i označava se s ƒ(x).
Vrijednost derivacije funkcije f u proizvoljnoj točki x u domeni funkcije dana je s limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Ovo je označeno bilo kojim od sljedećih izraza: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Za funkcije s nekoliko varijabli definiramo parcijalne derivacije. Parcijalna derivacija funkcije s nekoliko varijabli je njezina derivacija u odnosu na jednu od tih varijabli, uz pretpostavku da su ostale varijable konstante. Simbol djelomične derivacije je ∂.
Geometrijski derivacija funkcije može se interpretirati kao nagib krivulje funkcije ƒ(x).
Što je Integral?
Integracija ili anti-diferencijacija je obrnuti proces od diferencijacije. Drugim riječima, to je proces pronalaženja originalne funkcije kada je zadana derivacija funkcije. Stoga se integral ili antiderivacija funkcije ƒ(x) ako je ƒ(x)=F (x) može definirati kao funkcija F (x), za sve x u domeni ƒ(x).
Izraz ∫ƒ(x) dx označava derivaciju funkcije ƒ(x). Ako je ƒ(x)=F (x), tada je ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, gdje je C konstanta, ∫ƒ(x) dx se zove neodređeni integral od ƒ(x).
Za bilo koju funkciju ƒ, koja nije nužno nenegativna i definirana na intervalu [a, b], a∫b ƒ(x) dx naziva se definitivnim integralom ƒ na [a, b].
Određeni integral a∫bƒ(x) dx funkcije ƒ(x) može se geometrijski interpretirati kao površina područje ograničeno krivuljom ƒ(x), x-osi i linijama x=a i x=b.
Koja je razlika između derivacije i integrala?
• Derivacija je rezultat diferencijacije procesa, dok je integral rezultat integracije procesa.
• Derivacija funkcije predstavlja nagib krivulje u bilo kojoj točki, dok integral predstavlja površinu ispod krivulje.
