Derivacija protiv diferencijala
U diferencijalnom računu, derivacija i diferencijal funkcije blisko su povezani, ali imaju vrlo različita značenja i koriste se za predstavljanje dvaju važnih matematičkih objekata povezanih s diferencijabilnim funkcijama.
Što je derivat?
Derivacija funkcije mjeri brzinu kojom se vrijednost funkcije mijenja kako se njezin ulaz mijenja. Kod funkcija s više varijabli promjena vrijednosti funkcije ovisi o smjeru promjene vrijednosti nezavisnih varijabli. Stoga se u takvim slučajevima odabire određeni smjer i funkcija se diferencira u tom određenom smjeru. Ta derivacija se naziva derivacija smjera. Parcijalne derivacije su posebna vrsta usmjerenih derivacija.
Derivacija vektorske funkcije f može se definirati kao granica [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] gdje god postoji konačno. Kao što je prije spomenuto, to nam daje brzinu porasta funkcije f duž smjera vektora u. U slučaju funkcije s jednom vrijednošću, to se svodi na dobro poznatu definiciju derivacije, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Na primjer, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] svugdje se može diferencirati, a derivacija je jednaka granici, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], što je jednako [latex]3x^{2}+4[/latex]. Izvedenice funkcija kao što su [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] postoje posvuda. One su redom jednake funkcijama [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Ovo je poznato kao prva izvedenica. Obično se prva derivacija funkcije f označava s f (1) Koristeći ovaj zapis, moguće je definirati derivacije višeg reda. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je usmjerena derivacija drugog reda i označava n th derivaciju s f (n) za svaki n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definira n th derivat.
Što je diferencijal?
Diferencijal funkcije predstavlja promjenu funkcije u odnosu na promjene nezavisne varijable ili varijabli. U uobičajenom zapisu, za danu funkciju f jedne varijable x, ukupni diferencijal reda 1 df dan je s [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. To znači da će za infinitezimalnu promjenu u x (tj. d x), postojati f (1)(x)d x promjena u f.
Upotrebom ograničenja može se doći do ove definicije na sljedeći način. Pretpostavimo da je ∆ x promjena x u proizvoljnoj točki x i ∆ f odgovarajuća promjena funkcije f. Može se pokazati da je ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, gdje je ϵ pogreška. Sada, granica ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (koristeći prethodno navedenu definiciju derivacije) i prema tome, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Stoga je moguće zaključiti da je ∆ x→ 0 ϵ=0. Sada, označavajući ∆ x→ 0 ∆ f kao d f i ∆ x→ 0 ∆ x kao d x definicija diferencijala je rigorozno dobivena.
Na primjer, diferencijal funkcije [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je [latex](3x^{2}+4)dx[/lateks].
U slučaju funkcija dviju ili više varijabli, ukupni diferencijal funkcije je definiran kao zbroj diferencijala u smjerovima svake od nezavisnih varijabli. Matematički, to se može izraziti kao [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Koja je razlika između derivata i diferencijala?
• Derivacija se odnosi na stopu promjene funkcije dok se diferencijal odnosi na stvarnu promjenu funkcije, kada je nezavisna varijabla podvrgnuta promjeni.
• Derivacija je dana kao [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], ali razlika je dana kao [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
