Određeni vs neodređeni integrali
Račun je važna grana matematike, a diferencijacija ima ključnu ulogu u matematici. Inverzni proces diferencijacije poznat je kao integracija, a inverzni je poznat kao integral, ili jednostavno rečeno, inverz diferencijacije daje integral. Na temelju rezultata koje daju integrali su podijeljeni u dvije klase; određeni i neodređeni integrali.
Više o neodređenim integralima
Neodređeni integral je više opći oblik integracije i može se tumačiti kao antiderivacija razmatrane funkcije. Pretpostavimo da diferencijacija F daje f, a integracija f daje integral. Često se piše kao F(x)=∫ƒ(x)dx ili F=∫ƒ dx gdje su i F i ƒ funkcije od x, a F je diferencijabilna. U gornjem obliku naziva se Reimannov integral, a rezultirajuća funkcija prati proizvoljnu konstantu. Neodređeni integral često proizvodi familiju funkcija; dakle, integral je neodređen.
Integrali i proces integracije u srži su rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Međutim, za razliku od diferencijacije, integracija ne slijedi uvijek jasnu i standardnu rutinu; ponekad se rješenje ne može eksplicitno izraziti u terminima elementarne funkcije. U tom se slučaju analitičko rješenje često daje u obliku neodređenog integrala.
Više o određenim integralima
Određeni integrali su vrlo cijenjeni pandani neodređenih integrala gdje proces integracije zapravo proizvodi konačan broj. Može se grafički definirati kao područje ograničeno krivuljom funkcije ƒ unutar zadanog intervala. Kad god se integracija izvrši unutar zadanog intervala nezavisne varijable, integracija proizvodi definitivnu vrijednost koja se često piše kao a∫bƒ(x) dx ili a∫b ƒdx.
Neodređeni integrali i određeni integrali međusobno su povezani kroz prvi temeljni teorem računa, što omogućuje izračunavanje određenog integrala korištenjem neodređenih integrala. Teorem glasi a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) gdje su i F i ƒ funkcije x, i F je diferencijabilan u intervalu (a, b). S obzirom na interval, a i b su poznati kao donja granica i gornja granica.
Umjesto zaustavljanja samo na stvarnim funkcijama, integracija se može proširiti na složene funkcije i ti se integrali nazivaju konturni integrali, gdje je ƒ funkcija kompleksne varijable.
Koja je razlika između određenih i neodređenih integrala?
Neodređeni integrali predstavljaju antiderivaciju funkcije, a često i familiju funkcija, a ne definitivno rješenje. U određenim integralima integracija daje konačan broj.
Neodređeni integrali pridružuju proizvoljnu varijablu (dakle obitelj funkcija) i određeni integrali nemaju proizvoljnu konstantu, već gornju granicu i donju granicu integracije.
Neodređeni integral obično daje opće rješenje diferencijalne jednadžbe.
