Razlika između Riemannovog i Lebesgueovog integrala

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 13:40

Riemannov integral vs Lebesgueov integral

Integracija je glavna tema u matematiki. U širem smislu, integracija se može promatrati kao obrnuti proces diferencijacije. Pri modeliranju problema iz stvarnog svijeta lako je pisati izraze koji uključuju izvedenice. U takvoj situaciji potrebna je operacija integracije kako bi se pronašla funkcija koja je dala određenu derivaciju.

Iz drugog kuta, integracija je proces koji sažima umnožak funkcije ƒ(x) i δx, gdje δx teži biti određena granica. Zbog toga simbol integracije koristimo kao ∫. Simbol ∫ je zapravo ono što dobijemo rastezanjem slova s da se odnosi na sumu.

Riemannov integral

Razmotrimo funkciju y=ƒ(x). Integral od y između a i b, gdje a i b pripadaju skupu x, piše se kao _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). To se zove određeni integral jedne vrijednosti i kontinuirane funkcije y=ƒ(x) između a i b. Ovo daje površinu ispod krivulje između a i b. Ovo se još naziva i Riemannov integral. Riemannov integral stvorio je Bernhard Riemann. Riemannov integral kontinuirane funkcije temelji se na Jordanovoj mjeri, stoga se definira i kao granica Riemannove sume funkcije. Za funkciju s realnim vrijednostima definiranu na zatvorenom intervalu, Riemannov integral funkcije s obzirom na particiju x₁, x₂, …, x n _{definirano na intervalu [a, b] i t}1_{, t}2_{, …, t n}, gdje je x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 za svaki i ε {1, 2, …, n}, Riemannova suma je definirana kao Σ_{i=o do n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgueov integral

Lebesgue je još jedan tip integrala koji pokriva veliki broj slučajeva nego Riemannov integral. Lebesgueov integral uveo je Henri Lebesgue 1902. Legesgueova integracija može se smatrati generalizacijom Riemannove integracije.

Zašto trebamo proučavati još jedan integral?

Razmotrimo karakterističnu funkciju ƒ_{A (x)=}{_{0 ako, x nije ε A}^{1 ako, x ε A}na skupu A. Tada je konačna linearna kombinacija karakterističnih funkcija, koja je definirana kao F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) nazivamo jednostavnom funkcijom ako je E} i _{mjerljiva za svaki i. Lebesgueov integral od F (x) preko E označen je s} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkcija F (x) nije Riemannova integrabilna. Stoga je Lebesgueov integral preformuliran Riemannov integral, koji ima neka ograničenja na funkcije koje treba integrirati.}

Koja je razlika između Riemannovog integrala i Lebesgueovog integrala?

· Lebesgueov integral je generalizacijski oblik Riemannova integrala.

· Lebesgueov integral dopušta prebrojivu beskonačnost diskontinuiteta, dok Riemannov integral dopušta konačan broj diskontinuiteta.