Hiperbola protiv elipse
Kada je stožac izrezan pod različitim kutovima, različite krivulje su označene rubom stošca. Te se krivulje često nazivaju konusni presjeci. Preciznije, konik je krivulja dobivena presjekom prave kružne konusne plohe s ravnom plohom. Pod različitim kutovima presjeka dani su različiti konusni presjeci.
I hiperbola i elipsa su konusni presjeci i njihove se razlike lako uspoređuju u ovom kontekstu.
Više o Ellipse
Kada sjecište konusne površine i ravne površine stvara zatvorenu krivulju, to je poznato kao elipsa. Ima ekscentricitet između nule i jedan (0<e<1). Također se može definirati kao geometrijsko mjesto skupa točaka na ravnini tako da zbroj udaljenosti do točke od dvije fiksne točke ostaje konstantan. Ove dvije fiksne točke poznate su kao "žarišta". (Zapamtite; u osnovnoj nastavi matematike elipse se crtaju pomoću uzice vezane za dvije fiksne pribadače, ili pomoću petlje uzice i dvije pribadače.)
Linija koja prolazi kroz fokuse poznata je kao velika os, a os okomita na veliku os i prolazi kroz središte elipse poznata je kao mala os. Promjeri duž svake osi poznati su kao transverzalni promjer odnosno konjugirani promjer. Polovica velike osi poznata je kao polu-velika os, a polovica sporedne osi poznata je kao polu-mala os.
Svaka točka F1 i F2 poznate su kao žarišta elipse i dužine F1 + PF2 =2a, gdje je P proizvoljna točka na elipsi. Ekscentricitet e definiran je kao omjer između udaljenosti od žarišta do proizvoljne točke (PF 2) i okomite udaljenosti do proizvoljne točke od direktrise (PD). Također je jednaka udaljenosti između dva žarišta i velike poluosi: e=PF/PD=f/a
Opća jednadžba elipse, kada se velika poluos i mala poluos poklapaju s Kartezijevim osima, dana je kako slijedi.
x2/a2 + y2/b2=1
Geometrija elipse ima mnogo primjena, posebno u fizici. Orbite planeta u Sunčevom sustavu su eliptične sa Suncem kao jednim fokusom. Reflektori za antene i akustične uređaje izrađeni su u eliptičnom obliku kako bi se iskoristila činjenica da će bilo koja emisija iz žarišta konvergirati u drugom žarištu.
Više o hiperboli
Hiperbola je također konusni presjek, ali je otvorenog kraja. Pojam hiperbola odnosi se na dvije nepovezane krivulje prikazane na slici. Umjesto da se zatvaraju poput elipse, kraci ili ogranci hiperbole nastavljaju se u beskonačnost.
Točke u kojima dvije grane imaju najkraću udaljenost između sebe poznate su kao vrhovi. Pravac koji prolazi kroz vrhove smatra se glavnom ili transverzalnom osi i jednom je od glavnih osi hiperbole. Dva žarišta parabole također leže na velikoj osi. Središte pravca između dva vrha je središte, a duljina pravca je velika poluos. Okomita simetrala velike poluosi je druga glavna os, a dvije krivulje hiperbole su simetrične oko te osi. Ekscentricitet parabole je veći od jedan; e > 1.
Ako se glavne osi poklapaju s Kartezijevim osima, opća jednadžba hiperbole je oblika:
x2/a2 – y2/b2=1,
gdje je a velika poluos, a b udaljenost od središta do bilo kojeg fokusa.
Hiperbole s otvorenim krajevima okrenutim prema x-osi poznate su kao hiperbole istok-zapad. Slične hiperbole mogu se dobiti i na y osi. One su poznate kao hiperbole y-osi. Jednadžba za takve hiperbole ima oblik
y2/a2 – x2/b2=1
Koja je razlika između hiperbole i elipse?
• I elipse i hiperbola su konusni presjeci, ali elipsa je zatvorena krivulja dok se hiperbola sastoji od dvije otvorene krivulje.
• Prema tome, elipsa ima konačan opseg, ali hiperbola ima beskonačnu duljinu.
• Oba su simetrična oko svoje velike i male osi, ali je položaj direktrise različit u svakom slučaju. U elipsi leži izvan velike poluosi, dok u hiperboli leži u velikoj poluosi.
• Ekscentricitet dvaju konusnih presjeka je različit.
0 <eEllipse < 1
eHiperbola > 0
• Opća jednadžba dviju krivulja izgleda isto, ali su različite.
• Okomita simetrala velike osi siječe krivulju u elipsi, ali ne i u hiperboli.
(Izvor slike: Wikipedia)
