Razlika između potencijskih i Taylorovih redova

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 13:40

Power Series vs Taylor Series

U matematici, realni niz je uređena lista realnih brojeva. Formalno, to je funkcija iz skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva. Ako je _n n^th član niza, niz označavamo s ili ₁, a ₂, …, a_n, …. Na primjer, razmotrite niz 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Može se označiti kao {1/n}.}

Moguće je definirati niz pomoću nizova. Niz je zbroj članova niza. Stoga, za svaki niz postoji pridruženi niz i obrnuto. Ako je {a_{n} sekvenca koja se razmatra, tada se niz formiran od te sekvence može predstaviti kao:}

Dakle, u gornjem primjeru, pridruženi niz je 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Kao što nazivi sugeriraju, redovi potencija su posebna vrsta nizova i intenzivno se koriste u numeričkoj analizi i srodnom matematičkom modeliranju. Taylorov niz je poseban stepenasti niz koji pruža alternativni način predstavljanja dobro poznatih funkcija kojim se lako rukuje.

Što je stepenasti niz?

Potencijski niz je niz oblika

koji je konvergentan (moguće) za neki interval sa središtem u c. Koeficijenti a_{nmogu biti realni ili kompleksni brojevi i neovisni su o x; tj. lažna varijabla.}

Na primjer, postavljanjem a_n=1 za svaki n, i c=0, niz potencije 1+x+x² Dobiva se +…..+ x^{+…. Lako je uočiti da kada je x ε (-1, 1), ovaj red potencija konvergira u 1/(1-x).}

Potencijski niz konvergira kada je x=c. Ostale vrijednosti x za koje red potencije konvergira uvijek će imati oblik otvorenog intervala sa središtem u c. To jest, postojat će vrijednost 0≤ R ≤ ∞ takva da je za svaki x koji zadovoljava |x-c|≤ R red potencije konvergentan i za svaki x koji zadovoljava |x-c|> R, red potencije je divergentan. Ova vrijednost R naziva se radijus konvergencije reda potencija (R može imati bilo koju realnu vrijednost ili pozitivnu beskonačnost).

Potencije se mogu zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti pomoću sljedećih pravila. Razmotrimo dva niza potencija:

Onda,

tj. slični pojmovi se zbrajaju ili oduzimaju. Također, moguće je pomnožiti i podijeliti dva niza potencija korištenjem identiteta,

Što je serija Taylor?

Taylorov niz je definiran za funkciju f (x) koja je beskonačno diferencijabilna na intervalu. Pretpostavimo da je f (x) diferencijabilna na intervalu sa središtem u c. Zatim je red potencija dat s

se zove Taylorov niz funkcije f (x) oko c. (Ovdje f⁽ⁿ⁾ (c) označavaju n^{th derivaciju na x=c). U numeričkoj analizi, konačan broj članova u ovoj beskonačnoj ekspanziji koristi se u izračunavanju vrijednosti u točkama gdje je niz konvergentan izvornoj funkciji.}

Kaže se da je funkcija f (x) analitička u intervalu (a, b), ako za svaki x ε (a, b), Taylorov niz od f (x) konvergira funkciji f (x). Na primjer, 1/(1-x) je analitički na (-1, 1), budući da je njegovo Taylorovo širenje 1+x+x²+….+ x ^{+… konvergira funkciji na tom intervalu, a e}x ^{je posvuda analitički, budući da Taylorov niz od e}x ^{konvergira u e} x ^{za svaki realni broj x.}

Koja je razlika između Power serije i Taylor serije?

1. Taylorov red je posebna klasa potencijskih redova definiranih samo za funkcije koje su beskonačno diferencijabilne na nekom otvorenom intervalu.

2. Taylor serija ima poseban oblik

dok potencijalni niz može biti bilo koji niz oblika