Laplace vs Fourierove transformacije
I Laplaceova transformacija i Fourierova transformacija su integralne transformacije, koje se najčešće koriste kao matematičke metode za rješavanje matematički modeliranih fizičkih sustava. Proces je jednostavan. Složeni matematički model pretvara se u jednostavniji, rješiv model pomoću integralne transformacije. Nakon što je jednostavniji model riješen, primjenjuje se inverzna integralna transformacija, koja bi dala rješenje izvornog modela.
Na primjer, budući da većina fizičkih sustava rezultira diferencijalnim jednadžbama, one se mogu pretvoriti u algebarske jednadžbe ili u lako rješive diferencijalne jednadžbe nižeg stupnja pomoću integralne transformacije. Tada će rješavanje problema postati lakše.
Što je Laplaceova transformacija?
Dana je funkcija f (t) realne varijable t, njena Laplaceova transformacija definirana je integralom [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (kad god postoji), što je funkcija kompleksne varijable s. Obično se označava s L { f (t)}. Inverzna Laplaceova transformacija funkcije F (s) uzima se kao funkcija f (t) na takav način da je L { f (t)}=F (s), a u uobičajenom matematičkom zapisu pišemo, L-1{ F (s)}=f (t). Inverzna transformacija može se učiniti jedinstvenom ako nulte funkcije nisu dopuštene. Ova dva se mogu identificirati kao linearni operatori definirani u funkcijskom prostoru, a također je lako vidjeti da, L -1{ L { f (t)}}=f (t), ako nulte funkcije nisu dopuštene.
Sljedeća tablica navodi Laplaceove transformacije nekih od najčešćih funkcija.
Što je Fourierova transformacija?
Dana je funkcija f (t) realne varijable t, njena Laplaceova transformacija definirana je integralom [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (kad god postoji), a obično se označava s F { f (t)}. Inverzna transformacija F -1{ F (α)} dana je integralom [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourierova transformacija također je linearna i može se smatrati operatorom definiranim u funkcijskom prostoru.
Upotrebom Fourierove transformacije, izvorna funkcija može se napisati na sljedeći način pod uvjetom da funkcija ima samo konačan broj diskontinuiteta i da je apsolutno integrabilna.
Koja je razlika između Laplaceove i Fourierove transformacije?
- Fourierova transformacija funkcije f (t) definirana je kao [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], dok je njegova laplaceova transformacija definirana kao [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourierova transformacija definirana je samo za funkcije definirane za sve realne brojeve, dok Laplaceova transformacija ne zahtijeva da funkcija bude definirana na skupu negativnih realnih brojeva.
- Fourierova transformacija je poseban slučaj Laplaceove transformacije. Može se vidjeti da se oba podudaraju za nenegativne realne brojeve. (tj. uzmite s u Laplaceu kao iα + β gdje su α i β realni tako da je e β=1/ √(2ᴫ))
- Svaka funkcija koja ima Fourierovu transformaciju imat će Laplaceovu transformaciju, ali ne i obrnuto.
