Razlika između aritmetičkih i geometrijskih nizova

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 13:40

Aritmetički protiv geometrijskih nizova

Matematička definicija niza usko je povezana s nizovima. Niz je uređen skup brojeva i može biti konačan ili beskonačan skup. Niz brojeva s razlikom između dva elementa koja je konstanta poznat je kao aritmetička progresija. Niz s konstantnim kvocijentom dva uzastopna broja poznat je kao geometrijska progresija. Ove progresije mogu biti konačne ili beskonačne, a ako su konačne, broj članova je prebrojiv, inače neprebrojiv.

Općenito, zbroj elemenata u progresiji može se definirati kao niz. Zbroj aritmetičke progresije poznat je kao aritmetički niz. Isto tako, zbroj geometrijske progresije poznat je kao geometrijski niz.

Više o aritmetičkim nizovima

U aritmetičkom nizu, uzastopni članovi imaju konstantnu razliku.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; gdje je a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d, i tako dalje.}

Ova razlika d je poznata kao zajednička razlika, a n^th član je dan sa _n =a ₁+ (n-1)d; gdje je a_{1 prvi izraz.}

Ponašanje niza se mijenja na temelju zajedničke razlike d. Ako je zajednička razlika pozitivna, progresija teži pozitivnoj beskonačnosti, a ako je zajednička razlika negativna teži negativnoj beskonačnosti.

Zbroj niza može se dobiti sljedećom jednostavnom formulom koju je prvi razvio indijski astronom i matematičar Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Zbroj S_{n može biti konačan ili beskonačan, ovisno o broju članova.}

Više o geometrijskim nizovima

Geometrijski niz je niz s konstantnim kvocijentom uzastopnih brojeva. To je važna serija pronađena u proučavanju serije, zbog svojstava koja posjeduje.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Na temelju omjera r, ponašanje serije može se kategorizirati na sljedeći način. r={|r|≥1 serija divergira; r≤1 niz konvergira}. Također, ako je r<0 niz oscilira, tj. niz ima izmjenične vrijednosti.

Zbroj geometrijskog niza može se izračunati pomoću sljedeće formule. S_n =a(1-r) / (1-r); gdje je a početni član, a r omjer. Ako je omjer r≤1, niz konvergira. Za beskonačni niz, vrijednost konvergencije dana je sa S_{n=a / (1-r).}

Geometrijski niz ima brojne primjene u područjima fizikalnih znanosti, inženjerstva i ekonomije

Koja je razlika između aritmetičkih i geometrijskih nizova?

• Aritmetički niz je niz s konstantnom razlikom između dva susjedna člana.

• Geometrijski niz je niz s konstantnim kvocijentom između dva uzastopna člana.

• Svi beskonačni aritmetički nizovi uvijek su divergentni, ali ovisno o omjeru, geometrijski nizovi mogu biti konvergentni ili divergentni.

• Geometrijski niz može imati oscilacije u vrijednostima; odnosno brojevi naizmjenično mijenjaju predznake, ali aritmetički niz ne može imati oscilacije.