Logaritamsko nasuprot eksponencijalnom | Eksponencijalna funkcija naspram logaritamske funkcije
Funkcije su jedna od najvažnijih klasa matematičkih objekata, koji se intenzivno koriste u gotovo svim potpoljima matematike. Kao što njihova imena sugeriraju, eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcija dvije su posebne funkcije.
Funkcija je relacija između dva skupa definirana na takav način da je za svaki element u prvom skupu vrijednost koja mu odgovara u drugom skupu jedinstvena. Neka je ƒ funkcija definirana iz skupa A u skup B. Tada za svaki x ϵ A simbol ƒ(x) označava jedinstvenu vrijednost u skupu B koja odgovara xu. Zove se slika od x ispod ƒ. Prema tome, relacija ƒ iz A u B je funkcija, ako i samo ako, za svaki x ϵ A i y ϵ A, ako je x=y tada je ƒ(x)=ƒ(y). Skup A nazivamo domenom funkcije ƒ i to je skup u kojem je funkcija definirana.
Što je eksponencijalna funkcija?
Eksponencijalna funkcija je funkcija dana s ƒ(x)=ex, gdje je e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) i transcendentalni je iracionalni broj. Jedna od posebnosti funkcije je da je derivacija funkcije jednaka samoj sebi; tj. kada je y=ex, dy/dx=ex Također, funkcija je posvuda kontinuirano rastuća funkcija koja ima x-os kao asimptotu. Stoga je i funkcija jedan-na-jedan. Za svaki x ϵ R imamo da je ex> 0, i može se pokazati da je na R + Također, slijedi osnovni identitet ex+y=exey i e0 =1. Funkcija se također može prikazati pomoću proširenja niza danog s 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Što je logaritamska funkcija?
Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji. Budući da je eksponencijalna funkcija jedan-na-jedan i na R +, funkcija g može se definirati iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup realnih brojeva danih s g(y)=x, ako i samo ako, y=ex Ova funkcija g naziva se logaritamska funkcija ili najčešće kao prirodni logaritam. Označava se s g(x)=log ex=ln x. Budući da je to inverz eksponencijalne funkcije, ako uzmemo odraz grafa eksponencijalne funkcije preko pravca y=x, tada ćemo imati graf logaritamske funkcije. Dakle, funkcija je asimptotska u odnosu na y-os.
Logaritamska funkcija slijedi neka osnovna pravila od kojih su ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y i ln xy=y ln x najvažnija. Ovo je također rastuća funkcija i posvuda je kontinuirana. Stoga je i jedan na jedan. Može se pokazati da je na R.
Koja je razlika između eksponencijalne funkcije i logaritamske funkcije?
• Eksponencijalna funkcija dana je s ƒ(x)=ex, dok je logaritamska funkcija dana s g(x)=ln x, a prva je inverzna od kasnije.
• Domena eksponencijalne funkcije je skup realnih brojeva, ali domena logaritamske funkcije je skup pozitivnih realnih brojeva.
• Raspon eksponencijalne funkcije je skup pozitivnih realnih brojeva, ali raspon logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.
