Linearne vs nelinearne diferencijalne jednadžbe
Jednadžba koja sadrži najmanje jedan diferencijalni koeficijent ili derivaciju nepoznate varijable poznata je kao diferencijalna jednadžba. Diferencijalna jednadžba može biti linearna ili nelinearna. Opseg ovog članka je objasniti što je linearna diferencijalna jednadžba, što je nelinearna diferencijalna jednadžba i koja je razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.
Od razvoja matematike u 18. stoljeću od strane matematičara poput Newtona i Leibnitza, diferencijalna jednadžba je igrala važnu ulogu u priči o matematici. Diferencijalne jednadžbe su od velike važnosti u matematici zbog njihove široke primjene. Diferencijalne jednadžbe su u središtu svakog modela koji razvijamo kako bismo objasnili bilo koji scenarij ili događaj u svijetu bilo da se radi o fizici, inženjerstvu, kemiji, statistici, financijskoj analizi ili biologiji (popis je beskrajan). Zapravo, dok račun nije postao uspostavljena teorija, nisu bili dostupni odgovarajući matematički alati za analizu zanimljivih problema u prirodi.
Rezultirajuće jednadžbe iz specifične primjene računa mogu biti vrlo složene i ponekad nerješive. Međutim, postoje oni koje možemo riješiti, ali mogu izgledati slično i zbunjujuće. Stoga su radi lakše identifikacije diferencijalne jednadžbe kategorizirane prema njihovom matematičkom ponašanju. Linearno i nelinearno jedna je takva kategorizacija. Važno je identificirati razliku između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.
Što je linearna diferencijalna jednadžba?
Pretpostavimo da je f: X→Y i f(x)=y, diferencijalna jednadžba bez nelinearnih članova nepoznate funkcije y i njezinih derivata poznata je kao linearna diferencijalna jednadžba.
Nameće uvjet da y ne može imati više izraze indeksa kao što su y2, y3, … i višestruke izvedenice kao kao
Također ne može sadržavati nelinearne termine kao što su Sin y, e y ^-2 ili ln y. Ima oblik,
gdje su y i g funkcije od x. Jednadžba je diferencijalna jednadžba reda n, koja je indeks derivacije najvišeg reda.
U linearnoj diferencijalnoj jednadžbi, diferencijalni operator je linearni operator i rješenja tvore vektorski prostor. Kao rezultat linearne prirode skupa rješenja, linearna kombinacija rješenja također je rješenje diferencijalne jednadžbe. To jest, ako su y1 i y2 rješenja diferencijalne jednadžbe, tada C1 y 1+ C2 y2 također je rješenje.
Linearnost jednadžbe je samo jedan parametar klasifikacije, a dalje se može kategorizirati u homogene ili nehomogene i obične ili parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ako je funkcija g=0 onda je jednadžba linearna homogena diferencijalna jednadžba. Ako je f funkcija dviju ili više neovisnih varijabli (f: X, T→Y) i f(x, t)=y, tada je jednadžba linearna parcijalna diferencijalna jednadžba.
Metoda rješavanja diferencijalne jednadžbe ovisi o vrsti i koeficijentima diferencijalne jednadžbe. Najlakši slučaj nastaje kada su koeficijenti konstantni. Klasičan primjer za ovaj slučaj je Newtonov drugi zakon gibanja i njegove različite primjene. Newtonov drugi zakon daje linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Što je nelinearna diferencijalna jednadžba?
Jednadžbe koje sadrže nelinearne članove poznate su kao nelinearne diferencijalne jednadžbe.
Sve gore su nelinearne diferencijalne jednadžbe. Nelinearne diferencijalne jednadžbe je teško riješiti, stoga je potrebno pažljivo proučavanje kako bi se dobilo ispravno rješenje. U slučaju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, većina jednadžbi nema opće rješenje. Stoga se svaka jednadžba mora tretirati zasebno.
Navier-Stokesova jednadžba i Eulerova jednadžba u dinamici fluida, Einsteinove jednadžbe polja opće relativnosti dobro su poznate nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ponekad primjena Lagrangeove jednadžbe na sustav varijabli može rezultirati sustavom nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
Koja je razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi?
• Diferencijalna jednadžba, koja ima samo linearne članove nepoznate ili zavisne varijable i njezine derivacije, poznata je kao linearna diferencijalna jednadžba. Nema člana s zavisnom varijablom indeksa većeg od 1 i ne sadrži nijedan višekratnik svojih izvedenica. Ne može imati nelinearne funkcije kao što su trigonometrijske funkcije, eksponencijalne funkcije i logaritamske funkcije u odnosu na zavisnu varijablu. Svaka diferencijalna jednadžba koja sadrži gore navedene članove je nelinearna diferencijalna jednadžba.
• Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi stvaraju vektorski prostor, a diferencijalni operator također je linearni operator u vektorskom prostoru.
• Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi su relativno lakša i postoje opća rješenja. Za nelinearne jednadžbe, u većini slučajeva, opće rješenje ne postoji i rješenje može biti specifično za problem. To čini rješenje puno težim od linearnih jednadžbi.
