Međusobno isključivi u odnosu na neovisne događaje
Ljudi često brkaju koncept međusobno isključivih događaja s neovisnim događajima. Zapravo, to su dvije različite stvari.
Neka su A i B bilo koja dva događaja povezana sa nasumičnim eksperimentom E. P(A) se naziva "Vjerojatnost A". Slično, možemo definirati vjerojatnost B kao P(B), vjerojatnost A ili B kao P(A∪B), a vjerojatnost A i B kao P(A∩B). Tada je P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Međutim, dva događaja se međusobno isključuju ako pojava jednog događaja ne utječe na drugi. Drugim riječima, ne mogu se pojaviti istovremeno. Prema tome, ako su dva događaja A i B međusobno isključivi tada je A∩B=∅ i prema tome, to implicira P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Neka su A i B dva događaja u uzorku prostora S. Uvjetna vjerojatnost A, s obzirom da se B dogodio, označava se s P(A | B) i definira se kao; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), uz uvjet P(B)>0. (inače nije definirano.)
Kaže se da je događaj A neovisan o događaju B, ako na vjerojatnost da se A dogodi ne utječe je li se B dogodio ili ne. Drugim riječima, ishod događaja B nema utjecaja na ishod događaja A. Prema tome, P(A | B)=P(A). Slično, B je neovisan o A ako je P(B)=P(B | A). Dakle, možemo zaključiti da ako su A i B nezavisni događaji, tada je P(A∩B)=P(A). P(B)
Pretpostavimo da je numerirana kocka bačena i pošteni novčić. Neka A bude događaj koji dobiva glavu, a B događaj koji baca paran broj. Tada možemo zaključiti da su događaji A i B neovisni, jer taj ishod jednog ne utječe na ishod drugog. Stoga je P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Budući da je P(A∩B)≠0, A i B se ne mogu međusobno isključivati.
Pretpostavimo da urna sadrži 7 bijelih klikera i 8 crnih klikera. Događaj A definirajte kao crtanje bijelog klikera, a događaj B kao crtanje crnog klikera. Pod pretpostavkom da će svaki kliker biti zamijenjen nakon bilježenja njegove boje, tada će P(A) i P(B) uvijek biti isti, bez obzira koliko puta izvlačimo iz urne. Zamjena kuglica znači da se vjerojatnosti ne mijenjaju od izvlačenja do izvlačenja, bez obzira na boju koju smo odabrali na zadnjem izvlačenju. Stoga su događaji A i B neovisni.
Međutim, ako su kuglice nacrtane bez zamjene, tada se sve mijenja. Pod ovom pretpostavkom, događaji A i B nisu neovisni. Izvlačenje bijelog klikera prvi put mijenja vjerojatnosti izvlačenja crnog klikera pri drugom izvlačenju i tako dalje. Drugim riječima, svako izvlačenje ima učinak na sljedeće izvlačenje, tako da pojedinačna izvlačenja nisu neovisna.
Razlika između međusobno isključivih i neovisnih događaja
– Uzajamna isključivost događaja znači da nema preklapanja između skupova A i B. Neovisnost događaja znači da događanje A ne utječe na događanje B.
– Ako se dva događaja A i B međusobno isključuju, tada je P(A∩B)=0.
– Ako su dva događaja A i B neovisna, tada je P(A∩B)=P(A). P(B)
