Asocijativno protiv komutativnog
U našem svakodnevnom životu, moramo koristiti brojeve kad god trebamo nešto izmjeriti. U trgovini, na benzinskoj postaji, pa čak iu kuhinji, trebamo zbrajati, oduzimati i množiti dvije ili više količina. Iz naše prakse, te izračune izvodimo bez napora. Nikada ne primjećujemo niti postavljamo pitanje zašto ove operacije radimo na ovaj određeni način. Ili zašto se ti izračuni ne mogu napraviti na drugačiji način. Odgovor se krije u načinu na koji su ove operacije definirane u matematičkom području algebre.
U algebri, operacija koja uključuje dvije količine (kao što je zbrajanje) definirana je kao binarna operacija. Točnije to je operacija između dva elementa iz skupa i ti se elementi nazivaju 'operand'. Mnoge operacije u matematici, uključujući ranije spomenute aritmetičke operacije i one koje se susreću u teoriji skupova, linearnoj algebri i matematičkoj logici mogu se definirati kao binarne operacije.
Postoji skup vodećih pravila koja se odnose na određenu binarnu operaciju. Asocijativna i komutativna svojstva dva su temeljna svojstva binarnih operacija.
Više o komutativnom svojstvu
Pretpostavimo da se nad elementima A i B izvodi neka binarna operacija, označena simbolom ⊗. Ako redoslijed operanda ne utječe na rezultat operacije, tada se kaže da je operacija komutativna. tj. ako je A ⊗ B=B ⊗ A tada je operacija komutativna.
Aritmetičke operacije zbrajanja i množenja su komutativne. Redoslijed brojeva koji se zbrajaju ili množe ne utječe na konačni odgovor:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Ali u slučaju dijeljenja promjena reda daje recipročnu vrijednost drugog, a kod oduzimanja promjena daje negativnu vrijednost drugog. Stoga, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 i 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 i 5 ÷ 4=1,25 [u ovom slučaju A, B ≠ 1 i 0]
U stvari, kaže se da je oduzimanje anti-komutativno; gdje je A – B=– (B – A).
Također, logički konektivi, konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija, također su komutativni. Funkcije istine također su komutativne. Operacije skupa unija i presjek su komutativni. Zbrajanje i skalarni umnožak vektora također su komutativni.
Ali vektorsko oduzimanje i vektorski umnožak nisu komutativni (vektorski umnožak dvaju vektora je antikomutativan). Zbrajanje matrica je komutativno, ali množenje i oduzimanje nisu komutativni.(Množenje dviju matrica može biti komutativno u posebnim slučajevima, kao što je množenje matrice s njezinom inverznom matricom ili identičnom matricom; ali definitivno matrice nisu komutativne ako matrice nisu iste veličine)
Više o asocijativnom svojstvu
Kaže se da je binarna operacija asocijativna ako redoslijed izvršenja ne utječe na rezultat kada su prisutna dva ili više pojavljivanja operatora. Razmotrimo elemente A, B i C i binarnu operaciju ⊗. Kaže se da je operacija ⊗ asocijativna ako
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Od osnovnih aritmetičkih funkcija, samo su zbrajanje i množenje asocijativni.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Oduzimanje i dijeljenje nisu asocijativni;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 i (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Logički veznici disjunkcija, konjunkcija i ekvivalencija su asocijativni, kao i skupovne operacije unija i presjek. Zbrajanje matrice i vektora je asocijativno. Skalarni produkt vektora je asocijativan, ali vektorski proizvod nije. Množenje matrica je asocijativno samo pod posebnim okolnostima.
Koja je razlika između komutativnog i asocijativnog svojstva?
• I svojstvo asocijativnosti i svojstvo komutativnosti posebna su svojstva binarnih operacija i neka ih zadovoljavaju, a neka ne.
• Ova se svojstva mogu vidjeti u mnogim oblicima algebarskih operacija i drugih binarnih operacija u matematici, kao što su presjek i unija u teoriji skupova ili logičke veze.
• Razlika između komutativnosti i asocijativnosti je u tome što komutativno svojstvo kaže da poredak elemenata ne mijenja konačni rezultat dok asocijativno svojstvo kaže da redoslijed kojim se operacija izvodi ne utječe na konačni odgovor.
