Kardinal vs Ordinal
U našem svakodnevnom životu upotreba brojeva može imati različite oblike u različitim situacijama. Na primjer, kada brojimo da bismo odredili veličinu zbirke objekata, brojimo ih kao jedan, dva, tri i tako dalje. Kada želimo nešto prebrojati da bismo dobili osjećaj položaja predmeta, brojimo ih kao prve, druge, treće itd. U prvom obliku brojanja, za brojeve se kaže da su kardinalni brojevi. U drugom obliku brojanja brojevi se smatraju rednim brojevima. U tom su kontekstu pojmovi kardinal i ordinal potpuno stvar lingvistike; kardinalni i redni su pridjevi.
Međutim, proširenje koncepta na skupove u matematici otkriva mnogo dublju i širu perspektivu i ne može se tretirati jednostavnim terminima. U ovom ćemo članku pokušati razumjeti temeljne koncepte kardinalnih i rednih brojeva u matematici.
Formalne definicije kardinalnih i rednih brojeva dane su u teoriji skupova. Definicije su zamršene i da bi ih se razumjelo u savršenom smislu potrebno je osnovno znanje iz teorije skupova. Stoga ćemo se okrenuti nekoliko primjera, kako bismo heuristički razumjeli koncepte.
Razmotrite dva skupa {1, 3, 6, 4, 5, 2} i {autobus, automobil, trajekt, vlak, avion, helikopter}. Svaki skup navodi skup elemenata, a ako prebrojimo broj elemenata vidljivo je da svaki ima isti broj elemenata, što je 6. Dolazeći do ovog zaključka, uzeli smo veličinu jednog skupa i usporedili ga s drugim pomoću broj. Takav broj se naziva kardinalni broj. Stoga možemo reći da je kardinalni broj broj koji možemo koristiti za usporedbu veličine konačnih skupova.
Opet se prvi skup brojeva može posložiti uzlaznim redoslijedom uzimajući u obzir veličinu svakog elementa i uspoređujući ih. U procesu naručivanja, brojevi se smatraju kardinalima. Isto tako, skup svih nenegativnih cijelih brojeva može se poredati u skup; tj. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ali u ovom slučaju veličina skupa postaje beskonačna i nije moguće dati ga u terminima ordinala. Bez obzira na to koliko velik broj odaberete da odredite veličinu skupa, ipak će biti brojeva izostavljenih iz skupa koji odaberete i koji su nenegativni cijeli brojevi.
Stoga, matematičari definiraju ovaj beskonačni kardinal (koji je prvi) kao Alef-0, napisan kao א (prvo slovo u hebrejskom alfabetu). Formalno, redni broj je vrsta reda dobro uređenog skupa. Stoga, redni broj konačnih skupova može biti dan kardinalnim brojevima, ali za beskonačne skupove redni je dan transfinitnim brojevima kao što je Aleph-0.
Koja je razlika između kardinalnih i rednih brojeva?
• Kardinalni broj je broj koji se može koristiti za brojanje ili za određivanje veličine konačnog uređenog skupa. Svi kardinalni brojevi su redni.
• Redni brojevi su brojevi koji se koriste za određivanje veličine i konačnih i beskonačnih uređenih skupova. Veličina konačno uređenih skupova dana je uobičajenim hindusko-arapskim algebarskim brojevima, a veličina beskonačnog skupa dana je transfinitnim brojevima.
