Ortogonalno vs Ortonormalno
U matematici se dvije riječi ortogonalno i ortonormalno često koriste zajedno sa skupom vektora. Ovdje se izraz 'vektor' koristi u smislu da je to element vektorskog prostora - algebarske strukture koja se koristi u linearnoj algebri. Za našu raspravu razmotrit ćemo prostor unutarnjeg umnoška – vektorski prostor V zajedno s unutarnjim umnoškom definiranim na V.
Na primjer, za unutarnji umnožak, prostor je skup svih 3-dimenzionalnih vektora položaja zajedno s uobičajenim točkastim umnoškom.
Što je ortogonalno?
Kaže se da je neprazan podskup S prostora unutarnjeg produkta V ortogonalan, ako i samo ako je za svaki različit u, v u S, [u, v]=0; tj. unutarnji umnožak u i v jednak je nultom skalaru u prostoru unutarnjeg umnoška.
Na primjer, u skupu svih 3-dimenzionalnih vektora položaja, to je ekvivalentno tvrdnji da su, za svaki različiti par vektora položaja p i q u S, p i q okomiti jedan na drugi. (Zapamtite da je unutarnji umnožak u ovom vektorskom prostoru točkasti umnožak. Također, točkasti umnožak dvaju vektora jednak je 0 ako i samo ako su dva vektora okomita jedan na drugi.)
Razmotrite skup S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, koji je podskup 3-dimenzionalnih vektora položaja. Primijetite da je (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Dakle, skup S je ortogonalan. Konkretno, kaže se da su dva vektora ortogonalna ako je njihov unutarnji umnožak 0. Stoga je svaki par vektora u Sis ortogonalan.
Što je ortonormalno?
Kaže se da je neprazan podskup S prostora unutarnjeg umnoška V ortonorman ako i samo ako je S ortogonalan i za svaki vektor u u S, [u, u]=1. Stoga se može vidjeti da svaki ortonormirani skup je ortogonalan, ali ne i obrnuto.
Na primjer, u skupu svih 3-dimenzionalnih vektora položaja, ovo je ekvivalentno tvrdnji da su, za svaki različiti par vektora položaja p i q u S, p i q okomiti jedni na druge, a za svaki p u S, |p|=1. To je zato što se uvjet [p, p]=1 svodi na p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, što je ekvivalentno |p |=1. Stoga, s obzirom na ortogonalni skup, uvijek možemo oblikovati odgovarajući ortonormirani skup dijeljenjem svakog vektora s njegovom veličinom.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} je ortonormirani podskup skupa svih 3-dimenzionalnih vektora položaja. Lako je vidjeti da je dobiven dijeljenjem svakog vektora u skupu S s njihovim veličinama.
Koja je razlika između ortogonalnog i ortonormalnog?
- Kaže se da je neprazan podskup S prostora unutarnjeg umnoška V ortogonalan, ako i samo ako za svaki različiti u, v u S, [u, v]=0. Međutim, on je ortonorman, ako i samo ako je dodatni uvjet – za svaki vektor u u S, [u, u]=1 zadovoljen.
- Svaki ortonormirani skup je ortogonalan, ali ne i obrnuto.
- Svaki ortogonalni skup odgovara jedinstvenom ortonormalnom skupu, ali ortonorman skup može odgovarati mnogim ortogonalnim skupovima.
